Una de las tantas soluciones
El problema es ver si el arco que recorren los ingenieros Contrera Schneider y Hernández Bascur es mayor o menor que la suma de los dos trazos rectos con el arco que recorre el ingeniero Omón Arancibia. Para cuantificar lo anterior, primero observemos que en una circunsferencia cualquiera de radio R, el largo de un segmento de circunsferencia está dado por la fórmula.
Arco = Radio multiplicado por ángulo,
Figura 2: Círculos concéntricos en la biblioteca
Es decir
Longitud de arco = R · ∡, (1)
donde el ángulo está medido en radianes, lo que será explicado más adelante
Con lo anterior, podemos afrmar a partir de la fórmula (1) que el camino que recorren los ingenieros Contrera Schneider y Hernández Bascur corresponde a R₁θ, y que el camino que recorre el ingeniero Omón Arancibia es 2 (R₁ − R₂), correspondiente a los trazos AC y BD de la figura, más R₂θ que es lo caminado a través del radier, es decir 2 (R₁ − R₂) + R₂θ.
Los dos caminos recorridos tienen igual largo cuando (2)
de donde se tiene que
(R₁ − R₂) θ = 2 (R₁ − R₂) (3)
y como R₁ − R₂) > 0, se concluye que θ = 2.
La interpretación de esta última igualdad es muy importante porque, en primer lugar, cuál camino es mejor no depende de los radios y por otra parte, el ángulo se debe interpretar en términos de radianes. Si θ > 2 el camino de los ingenieros Contrera Schneider y Hernández Bascur es más largo, mientras que si θ < 2, el camino del ingeniero Omón Arancibia es más largo. Esto lo podemos ver planteando la siguiente desigualdad:
Camino Contrera-Hernández > Camino Omón Arancibia
R₁θ > 2 (R₁ − R₂) + R₂θ
lo que permite concluir lo mencionado previamente.
Para tener una idea cuantitativa del valor del ángulo crítico 2, el ángulo recto en radianes vale ≈ 1,57 y en adición se sabe que π ≈ 2,09, por lo tanto, se cumple la desigualdad, < 2 < π en radianes. En otras palabras el ángulo critico está entre 90º y 120º.
En función de lo expuesto, el camino óptimo en términos de longitud queda determinado por la medición del ángulo entre las dos rectas que unen las dos circunsferencias.
Ganador
Adolfo Seyssel Carrasco
Reconocimientos adicionales
Lucas Cifuentes Sandoval y Karla Sagredo Jiménez.
LaTeX
SALUDOS Y PRESENTACIÓN
Como parte de la difusión y motivación de la Ingeniería Matemática, los Ingenieros Matemáticos Eduardo Contrera Schnider, Jaime Hernández Bascur y Alejandro Omón Arancibia le proponen a las y los estudiantes de Educación Primaria y Secundaria un problema, cuya respuesta pueden enviar a través del link.
Adjuntando el archivo con el desarrollo de la solución en el formato que más les acomode. Dentro de las respuestas recibidas se premiará aquellas que mejor cumpla con los parámetros/criterios de: ingenio, originalidad y rigurosidad. El premio consiste en una copia del libro El Enigma de Fermat de Simón singh, donde se cuenta la historia de la solución de uno de los problemas íconos de la Matemática: la conjetura de Fermat, resuelta por el Doctor Andrew Wiles, y donde se cuenta la historia en torno a la conjetura desde que fue formulada por Pierre de Fermat (1607-1665), hasta la solución del Doctor Andrew Wiles.
La fecha tope de recepción de soluciones es el día Lunes 24 de Junio hasta las 23:59 horas, y luego de dos semanas se dará a conocer una solución premiada a través de la página web de la carrera https://icmatematica.ufro.cl.
Adicionalmente se hará entrega del premio a quén se determine.
Invitamos a todas y todos quienes cursan Educación Básica o Media y tengan una fuerte motivación hacia las Ciencias Exactas a participar en este desafío, es decir, leer el problema propuesto, meditarlo, resolverlo y enviar su respuesta.
EL PROBLEMA
El Ingeniero Omón Arancibia camina todas las mañanas de Lunes a Viernes al Departamento de Ingeniería en Matemática desde su casa. Cuando llega a la Biblioteca Central de la Universidad de La Frontera, en vez de bordear un anillo exterior de maicillo camina en línea recta hacia al anillo interior del radier, luego bordea la biblioteca y finalmente frente a la entrada del departamento de Ingeniería Matemática vuelve a caminar en línea recta hacia el anillo exterior. Su argumento para realizar este recorrido es que dado al valor 2 π que tiene la fórmula del perímetro, camina menos.
Sin embargo, los Ingenieros Contrera Schneider y Hernández Bascur no están de acuerdo con la afirmación, y señalan que el camino hecho diariamente por el Ingeniero Omón Arancibia no es óptimo; de hecho, afirman que dicho camino es más largo que directamente recorrer el anillo externo de maicillo.
La situación descrita puede verse en la figura adjunta: en el punto A el Ingeniero Omón Arancibia camina derecho hasta el punto C, luego sigue el camino circular más pequeño hasta el punto D y finalmente camina en línea hasta el punto B. Los Ingenieros Contrera Schneider y Hernández Bascur sólo caminan por el circulo grande desde A hasta B.
En función de lo presentado, decida cuál de los dos caminos es más conveniente y por lo tanto cual es el que usted recorrería.
