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\title{EI Problema del Mes }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Ingenieros Matem\'aticos: Jaime Hern\'andez Bascur, Eduardo Contrera Schneider y Alejandro Om\'on Arancibia.

\section{Saludos presentaci\'on}
Como parte de la difusi\'on y motivaci\'on de la Ingenier\'ia Matem\'atica, los dos Ingenieros Matem\'aticos mencionados le proponen a los estudiantes de Educaci\'on Primaria y Secundaria un problema, cuya respuesta pueden enviar a trav\'es del link LINK, adjuntando un archivo con el desarrollo de la soluci\'on en el formato que m\'as les acomode. Dentro de las respuestas recibidas, se eligir\'a la mejor bajo los siguientes par\'ametros/criterios: ingenio, originalidad, rigurosidad. Adicionalmente, dicha mejor respuesta ser\'a premiada con el libro El Enigma de Fermat de Simon Singh, donde se cuenta la historia de la soluci\'on de uno de los problemas m\'as ic\'onicos de la Matem\'atica, la Conjetura de Fermat, por parte del Doctor Andrew Wiles, desarrollando tambi\'en varias ideas matem\'aticas en torno a la historia de la conjetura desde que fue formulada por Pierre de Fermat (1607-1665), hasta la soluci\'on del Doctor Andrew Wiles (1953- ) del a\~no en 1993 y publicada en 1995 .

La fecha tope de recepci\'on de soluciones es el d\'ia FECHA, y luego de dos semanas se dar\'a a conocer una soluci\'on y la soluci\'on ganadora (eventualmente pueden coincidir). Adicionalmente, se har\'a entrega del premio a qui\'en se determine como ganador.

Invitamos a todas y todos quienes cursan educaci\'on b\'asica o media y est\'en fuertemenete motivados por las Ciencias Exactas a participar, es decir a leer el problema, meditarlo, resolverlo y enviar sus respuestas.

%\section*{2 EL PROBLEMA}
%Se tiene cuatro puntos en el espacio, tal que nunca son coplanares (nunca est\'an los cuatros en un plano). ?`Cu\'antos planos existen, tal que la distancia de los cuatro puntos anteriores al plano sea la misma?
%
%Recuerde que dado un plano cualquiera, la distancia de un punto a dicho plano es el trazo perpendicular que une al punto con el plano.
%
%A modo de "entrenamiento", medite el siguiente problema con su respuesta. Dados tres puntos no co-lineales (es decir no est\'an los tres sobre una misma l\'inea), cu\'antas rectas existen tal que la distancia de los puntos a la recta sean siempre las mismas? La respuesta es tres (puede serle \'util hacer un dibujo para encontrar la respuesta).

\section*{El problema}
El ingeniero Om\'on Arancibia camina todas las ma\~nanas de Lunes a Viernes al departamento de Ingenier\'ia Matemática. Cuando llega a la Biblioteca Central de la Universidad de La Frontera, en vez de bordear el anillo exterior de maicillo camina en línea recta hasta el anillo interior del radier y frente a la entrada del departamento vuelve a caminar en línea recta hasta el anillo exterior. Su argumento para realizar ese recorrido es que "\textit{dado el valor $2 \pi$ que tiene la forma del per\'imetro, camina menos}".

Sin embargo, los ingenieros Hern\'andez Bascur y Contrera Schneider no est\'an de acuerdo con la afirmaci\'on y se\~nalan que el camino hecho por el ingeniero Om\'on Arancibia no es \'optimo; de hecho afirman que el camino diario es m\'as largo que recorrer el anillo externo de maicillo.

La situaci\'on puede verse en el dibujo adjunto 1: en el punto $A$ el ingeniero Om\'on Arancibia camina derecho hasta $C$, luego sigue el camino circular m\'as peque\~no hasta $D$ y luego camina en l\'inea recta hasta $B$. Los ingenieros Hern\'andez Bascur y Contrera Scheneider s\'olo caminan por el circulo grande desde $A$ hasta $B$.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[max width=\textwidth]{problemamespauta.jpg}
\caption{Esquema de trayectorias}
\end{figure}

Figure 1: Esquema de los dos caminos.

En función de lo presentado, decida cual de los dos caminos es m\'as conveniente y por lo tanto cual es el que usted recorrer\'ia.

\section*{Una de las tantas soluciones}
El problema es ver si el arco que recorren los ingenieros Contrera Schneider y Hern\'andez Bascur es mayor o menor que la suma de los dos trazos rectos con el arco que recorre el ingeniero Om\'on Arancibia.

Para cuantificar lo anterior, primero observemos que en una circunsferencia cualquiera de radio $R$, el largo de un segmento de circunsferencia está dado por la f\'ormula
\par
\begin{center}
\textbf{Arco $=$ Radio multiplicado por \'angulo,}
\end{center} es decir


\begin{equation*}
\text{Longitud de arco }=R \cdot \measuredangle , \tag{1}
\end{equation*} donde el \'angulo est\'a medido en radianes, lo que ser\'a explicado m\'as adelante. \\


A partir de (1), para poder determinar cu\'al de los dos caminos es mejor en t\'erminos de largo, se necesita tener radios y un \'angulo; llamemos $\theta$ el \'angulo entre los puntos $A$ y $B$, $R_{1}$ el radio desde el centro $O$ de la planta de la biblioteca hasta el camino de los ingenieros Contrera Schneider y Hern\'andez Bascur, y $R_{2}$ el radio desde el centro de la planta de la biblioteca al camino que recorre el ingeniero Om\'on Arancibia, tal y como muestra la figura 2. De la misma figura se puede ver que $R_{1}=\overline{OA}=\overline{OD}$, $R_{2}=\overline{OB}=\overline{OC}$ y $R_{1} > R_{2}$. \\

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{circulopauta.png}
\caption{C\'irculos conc\'entricos en la biblioteca}
\end{figure}


Con lo anterior, podemos afirmar a partir de la f\'ormula (1) que el camino que recorren los ingenieros Contrera Schneider y Hern\'andez Bascur corresponde a $R_{1} \theta$, y que el camino que recorre el ingeniero Om\'on Arancibia es $2\left(R_{1}-R_{2}\right)$, correspondiente a los trazos $\overline{A C}$ y $\overline{B D}$ de la figura, m\'as $R_{2} \theta$ que es lo caminado a trav\'es del radier, es decir $2\left(R_{1}-R_{2}\right)+R_{2} \theta$. \\

Los dos caminos recorridos tienen igual largo cuando


\begin{equation*}
R_{1} \theta=2\left(R_{1}-R_{2}\right)+R_{2} \theta \tag{2}
\end{equation*}


de donde se tiene que


\begin{equation*}
\left(R_{1}-R_{2}\right) \theta=2\left(R_{1}-R_{2}\right) \tag{3}
\end{equation*}


y como $R_{1}-R_{2}>0$, se concluye que $\theta=2$.

La interpretaci\'on de esta \'ultima igualdad es muy importante porque, en primer lugar, cu\'al camino es mejor no depende de los radios y por otra parte, el \'angulo se debe interpretar en t\'erminos de radianes. $\mathrm{Si}$ $\theta > 2$ el camino de los ingenieros Contrera Schneider y Hern\'andez Bascur es m\'as largo, mientras que si $\theta < 2$, el camino del ingeniero Om\'on Arancibia es m\'as largo. Esto lo podemos ver planteando la siguiente desigualdad:
\begin{align*}
\text{Camino Contrera-Hern\'andez} &> \text{Camino Om\'on Arancibia} \\
R_{1} \theta  & >  2\left(R_{1}-R_{2}\right)+R_{2} \theta
\end{align*} lo que permite concluir lo mencionado previamente. \\

Para tener una idea cuantitativa del valor del \'angulo cr\'itico 2, el \'angulo recto en radianes vale $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ y en adici\'on se sabe que $\frac{2}{3} \pi \approx 2.09 $, por lo tanto se cumple la desigualdad $\frac{\pi}{2}<2< \frac{2}{3} \pi$ en radianes. En otras palabras, el \'angulo cr\'itico est\'a entre $90^{\circ}$ y $120^{\circ}$. \\

En funci\'on de lo expuesto, el camino \'optimo en t\'erminos de longitud queda determinado por la medici\'on del \'angulo entre las dos rectas que unen las dos circunsferencias.


\end{document}